在学习完全立方公式时，最常见的疑惑莫过于 (a-b)³ 等于什么。它不仅是中学代数的必考点，也频繁出现在竞赛题、函数最值与三维几何体积计算中。下文用一步一步的拆分演示，带你看清公式的底层逻辑、变形技巧与实战应用，并配有常见疑问答疑，保证看完就会、考试不慌。
一、为什么 (a-b)³ 要展开？
记住一句话：展开是为了简化。
在解题过程中，遇到 (a-b)³ 这种高次幂，很容易与其它项混淆。通过展开成四项的多项式，我们就能把复杂的乘方运算变成加减法，便于下一步因式分解、合并同类项或求极限。
二、最直观的推导：先平方再相乘
将立方分解为平方与一次幂的乘积，符号清晰、路径最短。
(a-b)³
= (a-b)² · (a-b)
= (a² - 2ab + b²)(a - b) （平方展开）
= a·(a² - 2ab + b²) - b·(a² - 2ab + b²)
= a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³重点观察：系数 “1 -3 +3 -1” 呈二项式系数规律，根据帕斯卡三角第三行即可速记。
三、完全立方公式记忆技巧
| 关键词 | 记忆口诀 | 示例对应 |
|---|---|---|
| a³、b³ | 首末单项符号不变 | 公式首项 a³，尾项 -b³ |
| -3a²b、+3ab² | 中间两项符号交替，系数绝对值为 3 | -3a²b 在第二项，+3ab² 在第三项 |
把它们连成一句顺口溜：
“首项尾项把立方写，二负三正系数连交替。” 多读两遍，考试现场即可默写。
四、两种常见变形（解题提速）
- 反向极化
若已知a³ – 3a²b + 3ab² – b³需因式分解，一眼就锁定(a – b)³，避免繁琐拆项。 - 与立方差公式联动
a³ – b³还能写成(a – b)(a² + ab + b²).
当你遇到含(a-b)与一个二次式相乘时，考虑先用立方差或立方和拆分，两步再走回完全立方公式，就能实现“换视窗”，柳暗花明。
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五、实战演练：三步秒杀竞赛题
例题：已知 x² – 5x + 6 = 0 的两根为 x₁、x₂，求 (x₁ – x₂)³ 的值。
| 步骤 | 操作细节 |
|---|---|
| 1. 求根 | 化简得 (x-2)(x-3)=0 → x₁=3, x₂=2 |
| 2. 代公式 | (3-2)³ = 1³ = 1 |
| 3. 验证 | 直接乘方与公式两边同时对齐，结果一致 |
—— 一看就懂，绝不丢分！
六、拓展：如何推导 (a+b)³？
把 +b 代入原推导，唯一变化是符号。
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
口诀亦随之改变：
“二正三正系数全相同，中间不交替”。
七、常见问题解答（FAQ）
Q1：考试时我把公式记成 a³ – 3a³b + 3ab² – b³，写错项会影响多少分？
A：通常情况下，整道题会扣 1–2 分，前提是一两步就能看清是笔误；若影响后续求导或极值，可能全部归零。
Q2：完全立方公式可以用在复数平面吗？
A：当然可以。设 a、b 为复数，推导步骤完全一致，只需留意 i² = –1，合理控制符号。
Q3：为什么做完题目总感觉检验结果很复杂？
A：因为你把 ³ 展开后未同步合并同类项。在计算完成后，用 同类项检测法：从左到右扫两次，若 ab 同类项系数之和为 0，即代表计算正确。
Q4：三维空间坐标里，能否把 (a-b)³ 视为体积？
A：不直接对应体积，但可看成 三个维度分别按比例缩放 后的倍数差；做向量距离公式时，三次幂经常出现。
Q5：帕斯卡三角如何记 (a-b)³ 的系数？
A：第 4 行（从 0 行开始算）为 1 3 3 1，再把 b 次的项加负号即可得到 1 -3 3 -1。
八、今天学、今天会
- 背口诀：首末立方，二三 -3、+3 交替。
- 三步推导：平方 → 拆分 → 整理。
- 易错提醒：差项、符号、幂次是三大雷区。
从公式到题型，从得分到拿满分，愿你下一次看到 (a-b)³ 的三个字时，脑子里只剩3秒直接写出答案的肌肉记忆！