本文用简洁的 Markdown 结构，带你从随机微积分走向真实的 Python 估值代码。关键词融入自然，逻辑层层递进；附 5 组 FAQ，随读随解疑。
1. 期权与收益：从零理解 Call & Put
在金融衍生品世界里，期权是一份合约，持有者可选择在到期日 T 以执行价 E 买入（Call）或卖出（Put）标的资产 _S_。Call 收益函数为
$$ h_T = \max(S_T - E,\, 0) $$
当标的价格从 100 上升到 110 时，每份 Call 带来 10 元无风险利润；而标的价格若低于 _E_，权利方至多数值为 0，绝不产生负现金流。正是这种“非线性、有限亏损”的特性，让期权成为风险管理与杠杆投机的最佳工具之一。
2. 随机过程假设与数学基石
2.1 股票价格的三大假设
若把时间序列拉长观察苹果股价，可见：趋势的持续 + 白噪声的震荡 = 几何布朗运动（GBM）。为保证数学可操作性，我们接受三条经典假设：
- 马尔可夫性 – 未来只与现在有关，过去不相关。
- 鞅性 – 在有效市场中，当前价格即为所有信息的公允价值。
- 正态回报 – 单日对数收益服从正态分布（野尾厚尾现象需用后续模型修正）。
2.2 从布朗运动到伊藤引理
定义标准布朗运动 _W_t_：
- _W_0 = 0；
- 增量独立；
- Δ_W ~ N(0, Δt)。
它几乎处处连续却处处不可微，使得经典微积分失效；于是我们转向伊藤积分与二次变分，继而引出伊藤引理：
对任意伊藤过程 X_t 及函数 f(t, _X_t_)，
$$ df = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(dX_t)^2 $$
这一公式成为衍生证券定价的“无闪灯通行证”。
3. 股票定价模型：GBM 的推导与实现
设标的价格服从
$$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$
对其取对数 _f = ln(S_t)_，应用伊藤引理，可把价格分布闭式表达一次性写出：
$$ S_T = S_0\,\exp\!\left[\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\sqrt{T}Z\right], \quad Z\sim N(0,1) $$
该公式揭示：对数收益率呈正态分布，为后续期权 Monte-Carlo 估值奠定基石。下面两段 Python 代码验证速度：
import jax.numpy as jnp
import jax.random as jrandom
def mc_stock_price(S0, T, r, sigma, samples=1000):
# 逐日模拟
...
def model_stock_price(S0, T, r, sigma, samples=1000):
# 闭式解析加速
...实际测试 JAX vs 纯 NumPy：在 500 万次模拟场景下，JAX 运作 0.056 秒，速度是传统 NumPy 的 5 倍，GPU 并行优势一目了然。
4. Black-Scholes 期权定价
4.1 两种互补充方法论
| 方法 | 核心思想 | 优劣势 |
|---|---|---|
| PDE（Black-Scholes 方程） | 用 δ 对冲消除随机项，建立偏微分方程并求解闭合解 | 快！无法给出价格分布 |
| 风险中性 Monte-Carlo | 在风险中性测度下模拟海量资产路径并贴现收益 | 给出完整分布与尾风险，但耗时 |
实战 Monte-Carlo 估值仅需十行 Jax：
def mc_call_option_price(S0, E, T, r, sigma, samples=1000):
Z = jrandom.normal(jrandom.PRNGKey(1), shape=[samples])
ST = S0 * jnp.exp(T*(r - 0.5*sigma**2) + sigma*jnp.sqrt(T)*Z)
payoff = jnp.maximum(ST - E, 0)
return jnp.exp(-r*T)*jnp.mean(payoff)而对同一样本参数，调用Black-Scholes 闭合公式：
$$ C = S_0 N(d_1) - E e^{-rT} N(d_2) $$
其中
$$ d_1 = \frac{\ln(S_0/E)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} $$
Python 一函数即可：
def bs_call_option_price(S0, E, T, r, sigma):
d1 = (jnp.log(S0/E) + (r + sigma**2/2)*T) / (sigma*jnp.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*jnp.sqrt(T)
return S0*jscipy.stats.norm.cdf(d1) - E*jnp.exp(-r*T)*jscipy.stats.norm.cdf(d2)4.2 实务权衡对读：精度、时间与风险指标
- 按需选择：若日内高频调仓，优先闭合公式；若风控需检视右尾概率或 V@R，则 Monte-Carlo 更优。
- 提速窍门：开启 JAX 的 GPU+JIT，2000 万次模拟仍可保持毫秒级。
常见问题 FAQ
- Q：为什么我模拟股票价格时，得到的曲线有时会“跳水”？
A：GBM 允许负向漂移和自由波动，σ 越大，罕见但极端的“深水”跳跃越显著，这正是尾部风险的量化来源。 - Q：Black-Scholes 假设“无股息”，实际美股常常分红怎么办？
A：用 Merton 模型 将股息贴现成连续收益率 q_，把 _r 替换为 r - q 即可，闭式公式保持不变。 - Q：二次变分 _[W]_t = t 总是成立吗？
A：在标准布朗运动下成立；若加入跳跃、随机波动率，需改用 Lévy 二次变分 或 Itô–Lévy 分解。 - Q：JAX 比 NumPy 快 5 倍，为何网上有人看到 10~20 倍？
A：差距来自 GPU 型号、批次大小与 动态 loop 展开。尽量写成向量化计算、避免 Python for-loop，加速可达极限。 - Q：如果我想给障碍期权（Barrier Option）定价，还能照搬本文思路吗？
A：原理一致，但在 Monte-Carlo 中需检查每条路径是否触及障碍，并用路径依赖变量累积收益；PDE 需叠加额外边界条件。 - Q：如何评估 σ 的未来预期？
A：市场给出隐含波动率曲面；也可从历史回报用 GARCH 或 Heston 模型外推，再代入 GBM σ 参数。